Cercle unitaire définitions

Le cercle unitaire est un cercle centré en \((0,0)\) de rayon \(1\). La position de chaque point sur ce cercle est défini par \((cos (a), sin (a))\) avec \(a \in \mathbb{R}\). On défini la tangente de \(a\) par \(tan(a)=\frac{sin(x)}{cos(x)}\)


Les fonctions \(sin\) et \(cos\) admettent des definitions suivant les complexes :

\[ sin(x) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i} \quad cos(x) = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} \]
Mais aussi des développement limités :
\[ sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!}... \]

\[ cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!}... \]

Valeurs remarquables

x	cos	sin
\(0\)	\(1\)	\(0\)
\(\frac{\pi}{6}\)	\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)	\(\frac{1}{2}\)
\(\frac{\pi}{4}\)	\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)	\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\frac{\pi}{3}\)	\(\frac{1}{2}\)	\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\frac{\pi}{2}\)	\(0\)	1

Mnémotechnie : Pour sin, on écrit 0 1 2 3 4, on met tout a la racine, et on divise par 2

Formules importantes

• \(cos^2(x) + sin^2(x) = 1\)
• \(cos(a+b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b)\)
• \(sin(a+b) = sin(a)cos(b) + sin(b)cos(a)\)
• \(cos(2a) = cos^2(a)-sin^2(a)\)
• \(sin(2a) = 2sin(a)cos(a)\)
• \(cos(a)cos(b) = \frac{1}{2} (cos(a+b) + cos(a-b))\)
• \(sin(a)sin(b) = \frac{1}{2}(cos(a-b)+cos(a+b))\)
• \(sin(a)cos(b) = \frac{1}{2} (sin(a+b)+sin(a-b))\)
• \(cos(a)+cos(b) = 2cos(\frac{a+b}{2})cos(\frac{a-b}{2})\)
• \(cos(a)-cos(b) = -2sin(\frac{a+b}{2})cos(\frac{a-b}{2})\)
• \(sin(a)+sin(b) = 2sin(\frac{a+b}{2})cos(\frac{a-b}{2})\)
• \(sin(a)-sin(b) = 2cos(\frac{a+b}{2})sin(\frac{a-b}{2})\)

Fonctions réciproques

Les fonctions trigonométriques sont bijéctives sur \([-1,1]\). Leurs fonctions réciproques sont donc :

• \(Arcsin \rightarrow [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\)
• \(Arccos \rightarrow [0, \pi]\)

La fonction \(Arctan\) elle est définie : \(Arctan : \mathbb{R} \rightarrow [-1,1]\)
Elles sont aussi souvent représentées par leurs fonctions dérivées

Linéarisation de cos et sin

Formule d'Euler

\[ sin(x) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i} \quad cos(x) = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} \]
De la on obtiens que
\[ sin(x)^p = ( \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i})^p \rightarrow (2i)^p \cdot sin(x)^p = (e^{ix} - e^{-ix})^p \]
\[ \displaystyle (e^{ix} +(- e^{-ix}))^p = \sum_{k=0}^p e^{ix + k} (-e^{ix})^{p-k} \]
Ensuite, on simplifie grace au Binôme de newton

Factorisation par l'angle moitié

Cette méthode permet de factoriser \(1 + e^{ia}\) et \(e^{ia} - e^{ib}\)
\[ \begin{align} 1+e^{ia} = e^{i0} + e^{ia} \\ = e^{i \frac{a}{2}}(e^{-i \frac{a}{2}} + e^{i \frac{a}{2}}) \end{align} \]
On remarque la formule d'Euler, donc :
\[ =2cos(\frac{a}{2})e^{i \frac{a}{2}} \]
Maintenant pout le second exemple :
\[ \begin{align} e^{ia} - e^{ib} = e^{i\frac{a+b}{2}}(e^{i\frac{a-b}{2}} - e^{i\frac{b-a}{2}}) \\ = e^{i \frac{a+b}{2}} \cdot 2isin(\frac{a-b}{2}) \end{align} \]